CSP-J 2020 第一轮 第 14 题：名额分配到班级（隔板法）

题目

$10$ 个三好学生名额分配到 $7$ 个班级，每个班级至少有一个名额，一共有（ ）种不同的分配方案。

选项

• A. 84
• B. 72
• C. 56
• D. 504

答案

A

题解

把 $10$ 个名额看成相同的物品，$7$ 个班级各不相同，且每班至少分到 $1$ 个，可以用隔板法。

将 $10$ 个名额排成一行，它们之间有 $9$ 个空隙。从中选出 $6$ 个空隙插入隔板，就把名额分成了 $7$ 份，每份至少有 $1$ 个，依次分给 $7$ 个班级。

所以方案数为 \[ \binom{9}{6}=\binom{9}{3} =\frac{9\times8\times7}{3\times2\times1} =84. \]

因此选 A。