CSP-J 2023 第一轮 第 14 题：10男12女选3人至少1女生的组合数

题目

一个班级有 $10$ 个男生和 $12$ 个女生。如果要选出一个 $3$ 人的小组，并且小组中必须至少包含 $1$ 个女生，那么有多少种可能的组合?()

选项

• A. $1420$
• B. $1770$
• C. $1540$
• D. $2200$

答案

A

题解

用排除法：先算所有选法，再减去“全是男生”的选法。

全班共 \(10+12=22\) 人，选出 \(3\) 人有： \[ \binom{22}{3}=\frac{22\times21\times20}{3\times2\times1}=1540 \]

全是男生的选法有： \[ \binom{10}{3}=\frac{10\times9\times8}{3\times2\times1}=120 \]

所以至少有 \(1\) 个女生的组合数为： \[ 1540-120=\boxed{1420} \]

选 A。