CSP-J 2025 第一轮 第 7 题：布尔表达式 (a&&b) (!c&&a) 与哪个表达式不始终相等

题目

假设 $a, b, c$ 都是布尔变量，逻辑表达式 (a && b) || (!c && a) 的值与下列哪个表达式不始终相等？

选项

• A. a && (b || !c)
• B. (a || !c) && (b || !c) && (a || a)
• C. a && (!b || c)
• D. !(!a || !b) || (a && !c)

答案

C

题解

答案是 C。

这里 && 表示“与”，|| 表示“或”，! 表示“非”。题目问“不始终相等”，也就是找出一个选项：至少存在一组布尔变量的取值，使它与原表达式的结果不同。

先把原表达式中的公共因子 a 提出来：

``text (a && b) || (!c && a) = (a && b) || (a && !c) = a && (b || !c) ``

因此，原表达式为真的条件是：a 为真，并且 b 为真或 c 为假。

下面逐项判断。

A：始终相等。

a && (b || !c) 就是上面化简得到的表达式。

B：始终相等。

由于 a || a 等于 a，所以：

``text (a || !c) && (b || !c) && (a || a) = (a || !c) && (b || !c) && a = a && (b || !c) ``

最后一步使用了吸收律：a && (a || !c) 等于 a。也可以这样理解：当 a 为假时，两边都为假；当 a 为真时，a || !c 必定为真，不再影响整个“与”表达式的结果。

C：不始终相等。

它是 a && (!b || c)，其中括号内的条件和原式不同。举一个反例即可确定它不等价：令 a = true、b = true、c = false。

原表达式的值为：

``text (true && true) || (!false && true) = true || true = true ``

C 的值为：

``text true && (!true || false) = true && (false || false) = false ``

同一组取值下，一个为真、一个为假，因此 C 符合题意。

D：始终相等。

根据德摩根律，!(!a || !b) 等于 a && b，所以：

``text !(!a || !b) || (a && !c) = (a && b) || (a && !c) ``

这与原表达式相同。

这类题可以先用分配律、吸收律和德摩根律化简；对怀疑不等价的选项，只要找到一组结果不同的取值，就能证明它们“不始终相等”。