CSP-J 2026 第一轮 第 9 题：满足 1≤n≤100 且 gcd(n,60)=6 的正整数 n 共有

题目

满足 $1 \le n \le 100$ 且 $gcd(n, 60)=6$ 的正整数 $n$ 共有多少个（ ）。

选项

• A. 8
• B. 6
• C. 4
• D. 5

答案

B

题解

因为 \(\gcd(n,60)=6\)，所以 \(n\) 必须是 \(6\) 的倍数。设 \(n=6k\)，则

\[ \gcd(6k,60)=6\gcd(k,10)=6, \]

因此需要 \(\gcd(k,10)=1\)，也就是 \(k\) 既不能被 \(2\) 整除，也不能被 \(5\) 整除。

由 \(1\le 6k\le100\)，得 \(1\le k\le16\)。符合条件的 \(k\) 为：

\[ 1,\ 3,\ 7,\ 9,\ 11,\ 13. \]

共 6 个，所以选 B。