CSP-S 2020 第一轮 第30题：若两个字符串的长度均为n，则最坏情况下，此程序的时间复杂度为

题目

#include <iostream>
#include <queue>
using namespace std;

const int maxl = 20000000;

class Map {
    struct item {
        string key; int value;
    } d[maxl];
    int cnt;
  public:
    int find(string x) {
        for (int i = 0; i < cnt; ++i)
            if (d[i].key == x)
                return d[i].value;
        return -1;
    }
    static int end() { return -1; }
    void insert(string k, int v) {
        d[cnt].key = k; d[cnt++].value = v;
    }
} s[2];

class Queue {
    string q[maxl];
    int head, tail;
  public:
    void pop() { ++head; }
    string front() { return q[head + 1]; }
    bool empty() { return head == tail; }
    void push(string x) { q[++tail] = x;  }
} q[2];

string st0, st1;
int m;

string LtoR(string s, int L, int R) {
    string t = s;
    char tmp = t[L];
    for (int i = L; i < R; ++i)
        t[i] = t[i + 1];
    t[R] = tmp;
    return t;
}

string RtoL(string s, int L, int R) {
    string t = s;
    char tmp = t[R];
    for (int i = R; i > L; --i)
        t[i] = t[i - 1];
    t[L] = tmp;
    return t;
}

bool check(string st , int p, int step) {
    if (s[p].find(st) != s[p].end())
        return false;
    ++step;
    if (s[p ^ 1].find(st) == s[p].end()) {
        s[p].insert(st, step);
        q[p].push(st);
        return false;
    }
    cout << s[p ^ 1].find(st) + step << endl;
    return true;
}

int main() {
    cin >> st0 >> st1;
    int len = st0.length();
    if (len != st1.length()) {
        cout << -1 << endl;
        return 0;
    }
    if (st0 == st1) {
        cout << 0 << endl;
        return 0;
    }
    cin >> m;
    s[0].insert(st0, 0); s[1].insert(st1, 0);
    q[0].push(st0); q[1].push(st1);
    for (int p = 0;
            !(q[0].empty() && q[1].empty());
            p ^= 1) {
        string st = q[p].front(); q[p].pop();
        int step = s[p].find(st);
        if ((p == 0 &&
                (check(LtoR(st, m, len - 1), p, step) ||
                 check(RtoL(st, 0, m), p, step)))
                ||
                (p == 1 &&
                 (check(LtoR(st, 0, m), p, step) ||
                  check(RtoL(st, m, len - 1), p, step))))
            return 0;
    }
    cout << -1 << endl;
    return 0;
}

若两个字符串的长度均为 $n$，则最坏情况下，此程序的时间复杂度为 $O(n!)$。（ ）

选项

• T. 正确
• F. 错误

答案

F

题解

第③题选 F（错误）。关键在于：程序中的 Map 是自己写的，find 使用的是顺序查找，不是常数时间查找。

``cpp for (int i = 0; i < cnt; ++i) if (d[i].key == x) return d[i].value; ``

长度为 \(n\) 的字符串，字符互不相同时最多有 \(n!\) 种排列。最坏情况下，搜索会访问阶乘数量的状态。

假设一侧共存入 \(K\) 个不同状态，那么每个新状态入表前，都要遍历已有记录以确认它没有出现过。仅这些查找就需要 \[ 0+1+2+\cdots+(K-1)=\Theta(K^2) \] 次字符串比较。因此，不能因为最多有 \(n!\) 个状态，就认为总时间是 \(O(n!)\)。

• 把一次字符串比较视为 \(O(1)\)：通常按 \(O((n!)^2)\) 估算。
• 计入字符串比较最坏为 \(O(n)\)：可给出上界 \(O\!\left(n(n!)^2\right)\)。

本题要抓住：状态数量 × 每个状态的处理代价，而这里的处理代价会随已存状态数量增长。