CSP-S 2020 第一轮 第39题：完善程序（第 20 题）第 1 空

题目

2.（最优子序列）取 $m = 16$，给出长度为 $n$ 的整数序列 $a_1,a_2,\dots,a_n(0 \le a_i < 2^m)$。对于一个二进制数 $x$，定义其分值 $w(x)$ 为 $x + \operatorname {popcnt}(x)$，其中 $\operatorname{popcnt}(x)$ 表示 $x$ 二进制表示中 $1$ 的个数。对于一个子序列  $b_1,b_2,\dots,b_k$，定义其子序列分值 $S$ 为 $w(b_1 \oplus b_2) + w(b_2 \oplus b_3) + w(b_3 \oplus b_4) + \cdots + w(b_{k-1} \oplus b_k)$。其中 $\oplus$ 表示按位异或。对于空子序列，规定其子序列分值为 $0$ 求一个子序列使得其子序列分值最大，输出这个最大值。

输入第一行包含一个整数 $n(1 \le n \le 40000)$ 接下来一行包含 $n$ 个整数 $a_1,a_2,\cdots,a_n$。

提示：考虑优化朴素的动态规划算法，将前 $\dfrac{m}{2}$ 位和后 $\dfrac{m}{2}$ 位分开计算。

Max[x][y] 表示当前的子序列下一个位置的高 $8$ 位是 $x$、最后一个位置的低 $8$ 位是 $y$ 时的最大价值。

试补全程序。

#include <iostream>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int MAXN = 40000, M = 16, B = M >> 1, MS = (1 << B) - 1;
const LL INF = 1000000000000000LL;
LL Max[MS + 4][MS + 4];

int w(int x)
{
    int s = x;
    while(x)
    {
        ①;
        s++;
    }
    return s;
}

void to_max(LL &x, LL y)
{
    if(x < y)
        x = y;
}

int main()
{
    int n;
    LL ans = 0;
    cin >> n;
    for(int x = 0; x <= MS; x++)
        for(int y = 0; y <= MS; y++)
            Max[x][y] = -INF;
    for(int i = 1; i <= n ; i++)
    {
        LL a;
        cin >> a;
        int x = ② , y = a & MS;
        LL v = ③;
        for(int z = 0; z < = MS; z++)
            to_max(v, ④);
        for(int z = 0; z < = MS; z++)
            ⑤;
        to_max(ans , v);
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

①处应填（ ）

选项

• A. x >>= 1
• B. x ^= x &(x ^ (x + 1))
• C. x -= x | -x
• D. x ^= x &(x ^ (x - 1))

答案

D

题解

应选 D。

s 初始为 x，每循环一次执行 s++。为了最终得到 x + popcnt(x)，循环必须恰好执行原数中 1 的个数次，因此每次应当消去最低位的一个 1。

选项 D： ``cpp x ^= x & (x ^ (x - 1)); ` 其中，x ^ (x - 1) 标记了最低位的 1 及其右侧各位，再与 x 按位与，就只保留了最低位的那个 1`。最后通过异或将它清零。

它等价于常见写法： ``cpp x &= x - 1; ``

例如，x = 12 时： ``text 1100 → 1000 → 0000 ` 循环两次，恰好对应两个 1，返回 12 + 2 = 14`。