CSP-S 2021 第一轮 第37题：完善程序（第 19 题）第 4 空

题目

(1) （魔法数字） 小 H 的魔法数字是 $4$。给定 $n$， 他希望用若干个 $4$ 进行若干次加法、减法和整除运算得到 $n$。但由于小 H 计算能力有限，计算过程中只能出现不超过 $M = 10000$ 的正整数。求至少可能用到多少个 $4$。

例如，当 $n=2$ 时，有 $2=\dfrac{4 + 4}{4}$，用到了 $3$ 个 $4$，是最优方案。

试补全程序。

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <climits>

using namespace std;

const int M = 10000;
bool Vis[M + 1];
int F[M + 1];

void update(int &x, int y) {
    if (y < x)
        x = y;
}

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 0; i <= M; i++)
        F[i] = INT_MAX;
    ①;
    int r = 0;
    while (②) {
        r++;
        int x = 0;
        for (int i = 1; i <= M; i++)
            if (③)
                x = i;
        Vis[x] = 1;
        for (int i = 1; i <= M; i++)
            if (④) {
                int t = F[i] + F[x];
                if (i + x <= M)
                    update(F[i + x], t);
                if (i != x)
                    update(F[abs(i - x)], t);
                if (i % x == 0)
                    update(F[i / x], t);
                if (x % i == 0)
                    update(F[x / i], t);
            }
    }
    cout << F[n] << endl;
    return 0;
}

④处应填（ ）

选项

• A. F[i] < F[x]
• B. F[i]<=r
• C. Vis[i]
• D. i <= x

答案

C

题解

选 C. Vis[i]。

这里采用类似 Dijkstra 的思路：

• F[i] 表示得到数字 i 所需的最少的 4 的个数。
• Vis[i] 表示数字 i 的最优答案已经确定。
• 每轮选出尚未确定答案、且 F[x] 最小的数字 x，标记 Vis[x] = 1。

接下来，要把 x 和已经确定最优答案的数字 i 组合起来，进行加、减、整除运算。两部分使用的 4 的总数为： ``cpp int t = F[i] + F[x]; ` 所以④应填： `cpp if (Vis[i]) ``

特别注意，刚刚标记过 Vis[x] = 1，因此允许 i = x。例如一开始由 4 + 4 得到 8，由 4 / 4 得到 1，都需要把 4 与自身组合。选项 A 的严格小于会漏掉这种情况。