CSP-S 2023 第一轮 第4题：假设有n根柱子，需要按照以下规则依次放置编号为1、2、3、·．.的圆环：每根柱子

题目

假设有 $n$ 根柱子，需要按照以下规则依次放置编号为 $1,2,3,\cdots$ 的圆环：每根柱子的底 部固定，顶部可以放入圆环；每次从柱子顶部放入圆环时，需要保证任何两个相邻圆环的编号之和是一个完全平方数。请计算当有 $4$ 根柱子时，最多可以放置（）个圆环

选项

• A. $7$
• B. $9$
• C. $11$
• D. $5$

答案

C

题解

选 C，11 个。

先证明 11 个可以放下。 四根柱子从底到顶分别放：

每根柱子中，相邻编号之和都是 \(4、9、16\) 中的一个，因此按编号顺序放置完全可行。

再证明 12 个放不下。 考虑编号 \(8、9、10、11、12\) 的五个圆环。它们中任意两个不同编号之和都在 \(17\) 到 \(23\) 之间，没有完全平方数。

由于圆环按编号递增放入，这五个圆环若有两个在同一根柱子上，它们之间也只能是这五个中的圆环，必然出现相邻编号之和不是完全平方数。因此它们需要 至少 5 根柱子。

所以，4 根柱子最多放置 \(\boxed{11}\) 个圆环。