CSP-S 2023 第一轮 第10题：假设快速排序算法的输入是一个长度为n的已排序数组，且该快速排序算法在分治过程总

题目

假设快速排序算法的输入是一个长度为n 的已排序数组，且该快速排序算法在分治过程总是选择第一个元素作为基准元素。以下哪个选项描述的是在这种情况下的快速排序行为?

选项

• A. 快速排序对于此类输入的表现最好，因为数组已经排序。
• B. 快速排序对于此类输入的时间复杂度是 $\Theta(n\log n)$。
• C. 快速排序对于此类输入的时间复杂度是 $\Theta(n^2)$。
• D. 快速排序无法对此类数组进行排序，因为数组已经排序。

答案

C

题解

答案是 C，时间复杂度为 \(\Theta(n^2)\)。

快速排序的效率取决于每次划分是否均衡，并不是数组越有序就越快。

对于已排序数组，每次选择第一个元素作为基准，它都是当前数组的最小值（升序时）或最大值（降序时）。因此，每次划分得到的两部分长度分别为 \(0\) 和 \(n-1\)，只能确定一个元素的位置。

接下来还要对长度为 \(n-1\)、\(n-2\)、……的子数组重复处理，总比较次数为： \[ (n-1)+(n-2)+\cdots+1 =\frac{n(n-1)}2 =\Theta(n^2). \]

这就是快速排序的最坏情况。数组仍然能被正确排序，所以 D 也不对。