CSP-S 2024 第一轮 第21题：假设数组 dp长度无限制，函数solve（)所实现的算法的时间复杂度是0(n 2

题目

#include <iostream>
#include <string>
using namespace std;

const int P = 998244353, N = 1e4 + 10, M = 20;
int n, m;
string s;
int dp[1 << M];

int solve() {
    dp[0] = 1;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        for (int j = (1 << (m - 1)) - 1; j >= 0; --j) {
            int k = (j << 1) | (s[i] - '0');
            if (j != 0 || s[i] == '1')
                dp[k] = (dp[k] + dp[j]) % P;
        }
    }
    int ans = 0;
    for (int i = 0; i < (1 << m); ++i) {
        ans = (ans + 1ll * i * dp[i]) % P;
    }
    return ans;
}

int solve2() {
    int ans = 0;
    for (int i = 0; i < (1 << n); ++i) {
        int cnt = 0;
        int num = 0;
        for (int j = 0; j < n; ++j) {
            if (i & (1 << j)) {
                num = num * 2 + (s[j] - '0');
                cnt++;
            }
        }
        if (cnt <= m) (ans += num) %= P;
    }
    return ans;
}

int main() {
    cin >> n >> m;
    cin >> s;
    if (n <= 20) {
        cout << solve2() << endl;
    }
    cout << solve() << endl;
    return 0;
}

假设输入的 $s$ 是包含 $n$ 个字符的 $01$ 串，完成下面的判断题和单选题。

假设数组 dp 长度无限制，函数 solve() 所实现的算法的时间复杂度是 $O(n\times 2^m)$。（  ）

选项

• T. 正确
• F. 错误

答案

T

题解

选 T，正确。

只分析 solve()，分两部分：

1. 前面的双重循环：外层执行 \(n\) 次，内层的 j 从 \(2^{m-1}-1\) 递减到 \(0\)，执行 \(2^{m-1}\) 次。每次只有常数次运算，因此耗时为

\[ \Theta(n\cdot 2^{m-1}). \]

1. 最后的求和循环：执行 \(2^m\) 次，每次是常数时间，因此耗时为

\[ \Theta(2^m). \]

总时间复杂度为 \[ \Theta(n\cdot 2^{m-1}+2^m) =\Theta((n/2+1)\cdot 2^m) =\Theta(n\cdot 2^m), \] 所以题目给出的 \(O(n\cdot 2^m)\) 正确。

注意：if 条件只决定是否更新 dp，不会减少循环次数；solve2() 也不计入 solve() 的复杂度。