CSP-S 2024 第一轮 第23题：（2分）在n≤10时，solve（)的返回值始终小于 41。

题目

#include <iostream>
#include <string>
using namespace std;

const int P = 998244353, N = 1e4 + 10, M = 20;
int n, m;
string s;
int dp[1 << M];

int solve() {
    dp[0] = 1;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        for (int j = (1 << (m - 1)) - 1; j >= 0; --j) {
            int k = (j << 1) | (s[i] - '0');
            if (j != 0 || s[i] == '1')
                dp[k] = (dp[k] + dp[j]) % P;
        }
    }
    int ans = 0;
    for (int i = 0; i < (1 << m); ++i) {
        ans = (ans + 1ll * i * dp[i]) % P;
    }
    return ans;
}

int solve2() {
    int ans = 0;
    for (int i = 0; i < (1 << n); ++i) {
        int cnt = 0;
        int num = 0;
        for (int j = 0; j < n; ++j) {
            if (i & (1 << j)) {
                num = num * 2 + (s[j] - '0');
                cnt++;
            }
        }
        if (cnt <= m) (ans += num) %= P;
    }
    return ans;
}

int main() {
    cin >> n >> m;
    cin >> s;
    if (n <= 20) {
        cout << solve2() << endl;
    }
    cout << solve() << endl;
    return 0;
}

假设输入的 $s$ 是包含 $n$ 个字符的 $01$ 串，完成下面的判断题和单选题。

（2 分）在 $n \leq 10$ 时，solve() 的返回值始终小于 $4^{10}$。（  ）

选项

• T. 正确
• F. 错误

答案

T

题解

选 T（正确）。注意题目中的上界是 \(4^{10}\)。

dp[k] 表示：从已经扫描的字符中，选出一个没有前导零、二进制值为 \(k\) 的子序列的方案数，dp[0]=1 表示空序列。最后的 ans 就是这些子序列的数值之和。

关键是估计这个和的上界：

• 长度为 \(n\) 的字符串，非空子序列的选取方案共有 \(2^n-1\) 种；程序统计的只是其中一部分。
• 每个子序列最多有 \(n\) 位，其二进制值最多为 \(2^n-1\)。

所以，取模前的总和满足 \[ \text{总和}\le (2^n-1)^2<2^{2n}=4^n. \] 当 \(n\le 10\) 时， \[ \texttt{solve()} \text{ 的返回值}<4^n\le 4^{10}. \]

取模也不会使非负数变大，因此结论成立。