CSP-S 2024 第一轮 第32题：（4分）输入“16”，输出的第二行是？（

题目

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int maxn = 1000000 + 5;
const int P1 = 998244353, P2 = 1000000007;
const int B1 = 2, B2 = 31;
const int K1 = 0, K2 = 13;

typedef long long ll;

int n;
bool p[maxn];
int p1[maxn], p2[maxn];

struct H {
    int h1, h2, l;
    H(bool b = false) {
        h1 = b + K1;
        h2 = b + K2;
        l = 1;
    }

    H operator + (const H & h) const {
        H hh;
        hh.l = l + h.l;
        hh.h1 = (1ll * h1 * p1[h.l] + h.h1) % P1;
        hh.h2 = (1ll * h2 * p2[h.l] + h.h2) % P2;
        return hh;
    }

    bool operator == (const H & h) const {
        return l == h.l && h1 == h.h1 && h2 == h.h2;
    }

    bool operator < (const H & h) const {
        if (l != h.l) return l < h.l;
        else if (h1 != h.h1) return h1 < h.h1;
        else return h2 < h.h2;
    }
} h[maxn];

void init() {
    memset(p, 1, sizeof(p));
    p[0] = p[1] = false;
    p1[0] = p2[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        p1[i] = (1ll * B1 * p1[i-1]) % P1;
        p2[i] = (1ll * B2 * p2[i-1]) % P2;
        if (!p[i]) continue;
        for (int j = 2 * i; j <= n; j += i) {
            p[j] = false;
        }
    }
}

int solve() {
    for (int i = n; i; --i) {
        h[i] = H(p[i]);
        if (2 * i + 1 <= n) {
            h[i] = h[2 * i] + h[i] + h[2 * i + 1];
        } else if (2 * i <= n) {
            h[i] = h[2 * i] + h[i];
        }
    }

    cout << h[1].h1 << endl;
    sort(h + 1, h + n + 1);
    int m = unique(h + 1, h + n + 1) - (h + 1);
    return m;
}

int main() {
    cin >> n;
    init();
    cout << solve() << endl;
}

输入 $16$，输出的第二行是？（  ）

选项

• A. $7$
• B. $9$
• C. $10$
• D. $12$

答案

C

题解

答案是 C．10。

solve() 中先输出 h[1].h1，这是第一行；返回值 m 被 main() 输出，才是题目问的第二行。所以要算的是：h[1] 到 h[16] 去重后有多少种不同的值。

可以把每个 h[i] 理解成一个 01 字符串：

• p[i] 表示 i 是否为质数：质数为 1，否则为 0。
• + 表示拼接字符串。
• h[i] 的拼接顺序是：左孩子的字符串 + 当前节点的值 + 右孩子的字符串，孩子编号分别为 2i、2i+1。

不超过 16 的质数是 2、3、5、7、11、13。按代码从后往前计算：

例如： ``text h[4] = h[8] + p[4] + h[9] = "00" + "0" + "0" = "0000" ``

表中每一行是一种不同的字符串，共 10 种。

这里字符串最长为 16，h1 就是其二进制数值，不会发生取模冲突；再加上长度 l，也能区分前导零不同的字符串。因此去重后 m = 10，第二行输出 10。