CSP-S 2025 第一轮 第26题：程序阅读第 2 题 · 第 5 小题

题目

#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define ll long long
int cnt_broken = 0;
int cnt_check = 0;
int n, k;
inline bool check(int h) {
    printf("now check:%d\n", h);
    ++cnt_check;
    if (cnt_broken == 2) {
        printf("You have no egg!\n");
        return false;
    }
    if (h >= k) {
        ++cnt_broken;
        return true;
    } else {
        return false;
    }
}
inline bool assert_ans(int h) {
    if (h == k) {
        printf("You are Right using %d checks\n", cnt_check);
        return true;
    } else {
        printf("Wrong answer!\n");
        return false;
    }
}
inline void guess1(int n) {
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        if (check(i)) {
            assert_ans(i);
            return;
        }
    }
}
inline void guess2(int n) {
    int w = 0;
    for (w = 1; w * (w + 1) / 2 < n; ++w)
        ;
    for (int ti = w, nh = w;; --ti, nh += ti, nh = std::min(nh, n)) {
        if (check(nh)) {
            for (int j = nh - ti + 1; j < nh; ++j) {
                if (check(j)) {
                    assert_ans(j);
                    return;
                }
            }
            assert_ans(nh);
            return;
        }
    }
}
int main() {
    scanf("%d%d", &n, &k);
    int t;
    scanf("%d", &t);
    if (t == 1) {
        guess1(n);
    } else {
        guess2(n);
    }
    return 0;
}

注意：下述的“猜测数”为调用 check 函数的次数（即 $cnt\_check$ 的值）；“猜测正确”的含义为 assert_ans 函数 return true（执行第 25 行所在分支）的情况；所有输入保证 $1 \leq k \leq n$）。

函数 guess2 在运行过程中，最多使用的猜测次数的量级为（ ）。

选项

• A. $O(n)$
• B. $O(n^2)$
• C. $O(\sqrt{n})$
• D. $O(\log n)$

答案

C

题解

选 C. \(O(\sqrt n)\)。

关键是：guess2 先跳着检查，遇到鸡蛋摔碎，再逐层检查。

首先，程序找到最小的 \(w\)，使得 \[ 1+2+\cdots+w=\frac{w(w+1)}2\ge n, \] 所以 \(w=\Theta(\sqrt n)\)。

随后，检查的楼层依次是 \[ w,\quad w+(w-1),\quad w+(w-1)+(w-2),\quad\ldots \] 每次跳跃的步长减小 \(1\)，超过 \(n\) 时取 \(n\)。

假设第 \(r\) 次跳跃检查时鸡蛋摔碎：

• 此时 ti = w-r+1；
• 内层循环从 nh-ti+1 检查到 nh-1，最多调用 check \(ti-1=w-r\) 次；
• 加上前面的 \(r\) 次，总共最多

\[ r+(w-r)=w \] 次。

因此，最多猜测次数的量级为 \(O(\sqrt n)\)。

注意：虽然有两层循环，但内层循环只在鸡蛋摔碎后执行一次，随后函数就返回，不能直接把两层循环的次数相乘。