CSP-S 2025 第一轮 第41题：完善程序第 2 题 · 第 3 空

题目

工厂打算通过客户反馈来间接测试生产线，从而找到存在缺陷的生产线。工厂有 $n$ 条生产线（编号 $0 \sim n-1$），已知其中恰有一条生产线存在缺陷。每一轮测试为，从若干生产线的产品取样混合成一个批次发给客户。若该批次中包含缺陷生产线的产品，客户将要求退货（结果记为 1），否则正常收货（记为 0）。受售后压力限制，在所有发货批次中，最多只能有 $k$ 次退货（即结果为 1 的次数 $\leq k$）。工厂的目标是，设计最少的间接测试轮数 $w$（发货总批次），保证根据客户收货或退货的反馈结果，唯一确定存在缺陷的生产线。

以下程序实现了工厂的目标，包含两部分：i) 确定 $w$ 的最小值，并设计最优测试方案；ii) 根据测试结果推断存在缺陷的生产线。该程序确定 $w$ 最小值的方法为：由于不同的生产线故障时，测试应当返回不同的结果，因此 $w$ 轮测试的可能结果总数不应少于生产线数量。

test_subset() 函数为抽象测试接口，输入所有批次的方案并返回一个二进制编码；该编码表示为每批次的检测结果（即最低位是第 1 批次、最高位是第 $w$ 批次）；其实现在此处未给出。

试补全程序。

#include <algorithm>
#include <cstddef>
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

long long comb(int w, int i) {
    if (i < 0 || i > w) {
        return 0;
    }
    long long res = 1;
    for (int t = 1; t <= i; ++t) {
        res = res * (w - t + 1) / t;
    }
    return res;
}

// 计算长度为 w、1 的个数 ≤ k 的码字总数
long long count_patterns(int w, int k) {
    long long total = 0;
    for (int t = 0; t <= min(w, k); ++t) {
        total += comb(w, t);
    }
    return total;
}

// 抽象测试接口
int test_subset(const vector<vector<int>> &plan);

int solve(int n, int k) {
    // === 第 1 步：求最小 w ===
    int w = 1;
    while (①) {
        ++w;
    }
    cout << w << endl;

    // === 第 2 步：生成测试方案 ===
    vector<vector<int>> code(n, vector<int>(w, 0));
    int idx = 0;
    for (int ones = 0; ones <= k && idx < n; ++ones) {
        vector<int> bits(w, 0);
        fill(bits.begin(), bits.begin() + ones, 1);
        do {
            for (int b = 0; b < w; ++b) {
                code[idx][b] = bits[b];
            }
            ++idx;
            if (idx >= n) {
                break;
            }
        } while (②);
    }

    vector<vector<int>> plan(w);
    for (int i = 0; i < w; ++i) {
        for (int j = 0; j < n; ++j) {
            if (③) {
                plan[i].push_back(j);
            }
        }
    }

    // === 第 3 步：调用测试接口 ===
    int signature = test_subset(plan);

    // === 第 4 步：结果解码 ===
    vector<int> sig_bits(w, 0);
    for (int i = 0; i < w; ++i) {
        if (④) {
            sig_bits[i] = 1;
        }
    }

    for (int j = 0; j < n; ++j) {
        if (⑤) return j;
    }
}

int main() {
    int n, k;
    cin >> n >> k;
    int ans = solve(n, k);
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

③ 处应填（ ）

选项

• A. (j >> i) & 1
• B. (i >> j) & 1
• C. code[i][j] == 1
• D. code[j][i] == 1

答案

D

题解

选 D. code[j][i] == 1。

code 的定义是：

• 第一维表示生产线编号，所以 code[j] 是第 j 条生产线的编码。
• 第二维表示测试批次，所以 code[j][i] 表示第 i 批是否包含第 j 条生产线的产品。

plan[i] 存放第 i 批包含的生产线编号，因此应写：

``cpp if (code[j][i] == 1) { plan[i].push_back(j); } ``

这样，假如第 j 条生产线有缺陷，只有包含它的批次会退货，得到的反馈序列就恰好是 code[j]，据此可以找到它。

A、B 使用编号的二进制位，未使用程序生成的编码；C 则把生产线和批次的下标写反了。