NOIP 普及 2010 第一轮 第 7 题：三进制数的加法与乘法

题目

设 $X,Y,Z$ 分别代表三进制下的一位数字，若等式 $\overline{XY} + \overline{ZX} = \overline{XYX}$ 在三进制下成立，那么同样在三进制下，等式 $\overline{XY} \times  \overline{ZX} =$ （   ）也成立。

选项

• A. $\overline{YXZ}$
• B. $\overline{ZXY}$
• C. $\overline{XYZ}$
• D. $\overline{XZY}$

答案

B

题解

考点定位

本题考「进制进位与竖式分析」，对应大纲 2.1.1 数制（难度【3】）。

解题过程

三进制下 $\overline{XY}+\overline{ZX}=\overline{XYX}$，按竖式逐位列约束（逢三进一，设个位向十位进 $c_1$、十位向百位进 $c_2$）：

个位： $Y+X=X+3c_1$，得 $Y=3c_1$。三进制数字只有 $0,1,2$：若 $c_1=1$ 则 $Y=3$ 非法，故 $c_1=0$，$Y=0$（个位不进位）。

百位： 三位数 $\overline{XYX}$ 的百位是 $X$，而百位只能来自十位的进位 $c_2$，故 $X=c_2$，且 $X$ 是首位数字，$X\ge1$。

十位： $X+Z+c_1=Y+3c_2$，代入 $c_1=0$、$Y=0$、$c_2=X$，得 $X+Z=3X$，即 $Z=2X$。$X=1$ 时 $Z=2$ 合法；$X=2$ 时 $Z=4$ 非法。

唯一解：$X=1,\ Y=0,\ Z=2$。

验算加法：$\overline{XY}=10_3=3$，$\overline{ZX}=21_3=7$，$3+7=10=101_3=\overline{XYX}$ ✓。

再算乘法：$\overline{XY}\times\overline{ZX}=3\times7=21=2\times9+1\times3+0=210_3=\overline{ZXY}$。

所以选 B。

易错提醒

① 字母数字谜先列竖式进位约束，把解压到唯一再往下算，不要乱试；

② 看似可行的数字组往往是巧合：例如 $X=2,Y=0$ 时 $20_3+02_3=22_3$ 虽然成立，但结果不是 $\overline{XYX}=202_3$，必须回代原等式检验；

③ 乘法可以换成十进制算完再转回三进制：$3\times7=21=210_3$。