NOIP 提高 2018 第一轮 第 7 题：在一条长度为1的线段上随机取两个点，则以这两个点为端点的线段的期望

题目

在一条长度为 $1$ 的线段上随机取两个点，则以这两个点为端点的线段的期望长度是（ ）。

选项

• A. $\dfrac{1}{2}$
• B. $\dfrac{1}{3}$
• C. $\dfrac{2}{3}$
• D. $\dfrac{3}{5}$

答案

B

题解

考点定位

本题考「几何概率期望」,对应大纲 2.1.4 概率（难度【3】）。

解题过程

两点 x,y 独立均匀于 [0,1]，期望线段长 = E|x−y| = 1/3（积分 2∫₀¹∫₀ˣ(x−y)dydx）。

选 B。

易错提醒

① E|x−y| = 1/3 经典结论；② 对称简化：E=max+min=E(x)+E(y)=1 ⇒ E|差|=1−2E(min)，E(min)=1/3。