Emiya 家今天的饭｜CSP-S 2019 第二轮（复赛）真题

[CSP-S 2019] Emiya 家今天的饭

题目描述

Emiya 是个擅长做菜的高中生，他共掌握 $n$ 种烹饪方法，且会使用 $m$ 种主要食材做菜。为了方便叙述，我们对烹饪方法从 $1 \sim n$ 编号，对主要食材从 $1 \sim m$ 编号。

Emiya 做的每道菜都将使用恰好一种烹饪方法与恰好一种主要食材。更具体地，Emiya 会做 $a_{i,j}$ 道不同的使用烹饪方法 $i$ 和主要食材 $j$ 的菜（$1 \leq i \leq n$、$1 \leq j \leq m$），这也意味着 Emiya 总共会做 $\sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{m} a_{i,j}$ 道不同的菜。

Emiya 今天要准备一桌饭招待 Yazid 和 Rin 这对好朋友，然而三个人对菜的搭配有不同的要求，更具体地，对于一种包含 $k$ 道菜的搭配方案而言：

• Emiya 不会让大家饿肚子，所以将做至少一道菜，即 $k \geq 1$
• Rin 希望品尝不同烹饪方法做出的菜，因此她要求每道菜的烹饪方法互不相同
• Yazid 不希望品尝太多同一食材做出的菜，因此他要求每种主要食材至多在一半的菜（即 $\lfloor \frac{k}{2} \rfloor$ 道菜）中被使用

这里的 $\lfloor x \rfloor$ 为下取整函数，表示不超过 $x$ 的最大整数。

这些要求难不倒 Emiya，但他想知道共有多少种不同的符合要求的搭配方案。两种方案不同，当且仅当存在至少一道菜在一种方案中出现，而不在另一种方案中出现。

Emiya 找到了你，请你帮他计算，你只需要告诉他符合所有要求的搭配方案数对质数 $998,244,353$ 取模的结果。

输入格式

第 1 行两个用单个空格隔开的整数 $n,m$。

第 2 行至第 $n + 1$ 行，每行 $m$ 个用单个空格隔开的整数，其中第 $i + 1$ 行的 $m$ 个数依次为 $a_{i,1}, a_{i,2}, \cdots, a_{i,m}$。

输出格式

仅一行一个整数，表示所求方案数对 $998,244,353$ 取模的结果。

样例 1

2 3 
1 0 1
0 1 1

3

样例 2

3 3
1 2 3
4 5 0
6 0 0

190

样例 3

5 5
1 0 0 1 1
0 1 0 1 0
1 1 1 1 0
1 0 1 0 1
0 1 1 0 1

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说明 / 提示

【样例 1 解释】

由于在这个样例中，对于每组 $i, j$，Emiya 都最多只会做一道菜，因此我们直接通过给出烹饪方法、主要食材的编号来描述一道菜。

符合要求的方案包括：

• 做一道用烹饪方法 1、主要食材 1 的菜和一道用烹饪方法 2、主要食材 2 的菜
• 做一道用烹饪方法 1、主要食材 1 的菜和一道用烹饪方法 2、主要食材 3 的菜
• 做一道用烹饪方法 1、主要食材 3 的菜和一道用烹饪方法 2、主要食材 2 的菜

因此输出结果为 $3 \bmod 998,244,353 = 3$。 需要注意的是，所有只包含一道菜的方案都是不符合要求的，因为唯一的主要食材在超过一半的菜中出现，这不满足 Yazid 的要求。

【样例 2 解释】

Emiya 必须至少做 $2$ 道菜。

做 $2$ 道菜的符合要求的方案数为 $100$。

做 $3$ 道菜的符合要求的方案数为 $90$。

因此符合要求的方案数为 $100 + 90 = 190$。

【数据范围】

对于所有测试点，保证 $1 \leq n \leq 100$，$1 \leq m \leq 2000$，$0 \leq a_{i,j} \lt 998,244,353$。