逻辑表达式｜CSP-J 2022 第二轮（复赛）真题

[CSP-J 2022] 逻辑表达式

题目描述

逻辑表达式是计算机科学中的重要概念和工具，包含逻辑值、逻辑运算、逻辑运算优先级等内容。

在一个逻辑表达式中，元素的值只有两种可能：$0$（表示假）和 $1$（表示真）。元素之间有多种可能的逻辑运算，本题中只需考虑如下两种：“与”（符号为 &）和“或”（符号为 |）。其运算规则如下：

$0 \mathbin{\&} 0 = 0 \mathbin{\&} 1 = 1 \mathbin{\&} 0 = 0$，$1 \mathbin{\&} 1 = 1$； $0 \mathbin{|} 0 = 0$，$0 \mathbin{|} 1 = 1 \mathbin{|} 0 = 1 \mathbin{|} 1 = 1$。

在一个逻辑表达式中还可能有括号。规定在运算时，括号内的部分先运算；两种运算并列时，& 运算优先于 | 运算；同种运算并列时，从左向右运算。

比如，表达式 0|1&0 的运算顺序等同于 0|(1&0)；表达式 0&1&0|1 的运算顺序等同于 ((0&1)&0)|1。

此外，在 C++ 等语言的有些编译器中，对逻辑表达式的计算会采用一种“短路”的策略：在形如 a&b 的逻辑表达式中，会先计算 a 部分的值，如果 $a = 0$，那么整个逻辑表达式的值就一定为 $0$，故无需再计算 b 部分的值；同理，在形如 a|b 的逻辑表达式中，会先计算 a 部分的值，如果 $a = 1$，那么整个逻辑表达式的值就一定为 $1$，无需再计算 b 部分的值。

现在给你一个逻辑表达式，你需要计算出它的值，并且统计出在计算过程中，两种类型的“短路”各出现了多少次。需要注意的是，如果某处“短路”包含在更外层被“短路”的部分内则不被统计，如表达式 1|(0&1) 中，尽管 0&1 是一处“短路”，但由于外层的 1|(0&1) 本身就是一处“短路”，无需再计算 0&1 部分的值，因此不应当把这里的 0&1 计入一处“短路”。

输入格式

输入共一行，一个非空字符串 $s$ 表示待计算的逻辑表达式。

输出格式

输出共两行，第一行输出一个字符 0 或 1，表示这个逻辑表达式的值；第二行输出两个非负整数，分别表示计算上述逻辑表达式的过程中，形如 a&b 和 a|b 的“短路”各出现了多少次。

样例 1

0&(1|0)|(1|1|1&0)

1
1 2

样例 2

(0|1&0|1|1|(1|1))&(0&1&(1|0)|0|1|0)&0

0
2 3

说明 / 提示

【样例解释 \#1】

该逻辑表达式的计算过程如下，每一行的注释表示上一行计算的过程：

0&(1|0)|(1|1|1&0)
=(0&(1|0))|((1|1)|(1&0)) //用括号标明计算顺序
=0|((1|1)|(1&0))   //先计算最左侧的 &，是一次形如 a&b 的“短路”
=0|(1|(1&0))       //再计算中间的 |，是一次形如 a|b 的“短路”
=0|1               //再计算中间的 |，是一次形如 a|b 的“短路”
=1

【样例 \#3】

见附件中的 expr/expr3.in 与 expr/expr3.ans。

【样例 \#4】

见附件中的 expr/expr4.in 与 expr/expr4.ans。

【数据范围】

设 $\lvert s \rvert$ 为字符串 $s$ 的长度。

对于所有数据，$1 \le \lvert s \rvert \le {10}^6$。保证 $s$ 中仅含有字符 0、1、&、|、(、) 且是一个符合规范的逻辑表达式。保证输入字符串的开头、中间和结尾均无额外的空格。保证 $s$ 中没有重复的括号嵌套（即没有形如 ((a)) 形式的子串，其中 a 是符合规范的逻辑表达式）。

其中： 特殊性质 1 为：保证 $s$ 中没有字符 &。 特殊性质 2 为：保证 $s$ 中没有字符 |。 特殊性质 3 为：保证 $s$ 中没有字符 ( 和 )。

【提示】

以下给出一个“符合规范的逻辑表达式”的形式化定义：

• 字符串 0 和 1 是符合规范的；
• 如果字符串 s 是符合规范的，且 s 不是形如 (t) 的字符串（其中 t 是符合规范的），那么字符串 (s) 也是符合规范的；
• 如果字符串 a 和 b 均是符合规范的，那么字符串 a&b、a|b 均是符合规范的；
• 所有符合规范的逻辑表达式均可由以上方法生成。