CSP-J 2019 第一轮 第 31 题：程序（三）：n=100最好情况比较次数

题目

#include <iostream>
using namespace std;
const int maxn = 10000;
int n;
int a[maxn];
int b[maxn];
int f(int l, int r, int depth) {
    if (l > r)
        return 0;
    int min = maxn, mink;
    for (int i = l; i <= r; ++i) {
        if (min > a[i]) {
            min = a[i];
            mink = i;
        }
    }
    int lres = f(l, mink - 1, depth + 1);
    int rres = f(mink + 1, r, depth + 1);
    return lres + rres + depth * b[mink];
}
int main() {
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; ++i)
        cin >> a[i];
    for (int i = 0; i < n; ++i)
        cin >> b[i];
    cout << f(0, n - 1, 1) << endl;
    return 0;
}

当 $n=100$ 时，最好情况下，与第 $12$ 行的比较运算执行的次数最接近的是：（）。

选项

• A. 100
• B. 6
• C. 5000
• D. 600

答案

D

题解

选 D. 600，最好情况下实际比较 580 次。

这里统计的是 if (min > a[i]) 的执行次数。每次调用 f，都要遍历当前区间：区间有几个元素，就比较几次。

找到最小值后，程序递归处理它左右两边的区间。最好情况是每次最小值都尽量靠近中间，使左右区间大小尽量相等。

可以把递归过程画成一棵二叉树：每个元素对应一个节点。深度为 \(d\) 的元素，会在自身及祖先对应的区间中各参与一次比较，因此共参与 \(d\) 次比较。

为了使总次数最少，应让节点尽量填满较浅的层：

前六层共 \(1+2+4+8+16+32=63\) 个，剩下 \(100-63=37\) 个放在第七层。

所以最少比较次数为 \[ 1\times1+2\times2+3\times4+4\times8 +5\times16+6\times32+7\times37 =\boxed{580}, \] 最接近 600。