CSP-J 2021 第一轮 第 29 题：程序（三）：f[i]/c[i k]是否可能出现向下取整

题目

假设输入的 $x$ 是不超过 $1000$ 的自然数，完成下面的判断题和单选题：

#include <iostream>
using namespace std;

const int n = 100000;
const int N = n + 1;

int m;
int a[N], b[N], c[N], d[N];
int f[N], g[N];

void init()
{
    f[1] = g[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (!a[i]) {
            b[m++] = i;
            c[i] = 1, f[i] = 2;
            d[i] = 1, g[i] = i + 1;
        }
        for (int j = 0; j < m && b[j] * i <= n; j++) {
            int k = b[j];
            a[i * k] = 1;
            if (i % k == 0) {
                c[i * k] = c[i] + 1;
                f[i * k] = f[i] / c[i * k] * (c[i * k] + 1);
                d[i * k] = d[i];
                g[i * k] = g[i] * k + d[i];
                break;
            }
            else {
                c[i * k] = 1;
                f[i * k] = 2 * f[i];
                d[i * k] = g[i];
                g[i * k] = g[i] * (k + 1);
            }
        }
    }
}

int main()
{
    init();

    int x;
    cin >> x;
    cout << f[x] << ' ' << g[x] << endl;
    return 0;
}

（2 分） 第 25 行的 f[i] / c[i * k]可能存在无法整除而向下取整的情况。 （ ）

选项

• A. 正确
• B. 错误

答案

B

题解

答案：B. 错误。 f[i] / c[i * k] 一定能整除。

这段程序使用线性筛，其中：

• c[i] 表示 \(i\) 的最小质因子的指数。
• f[i] 表示 \(i\) 的正因数个数。

执行到这一行时，满足 i % k == 0，且 \(k\) 是 \(i\) 的最小质因子。设 \[ i=k^e t,\qquad k\nmid t. \] 那么 c[i] = e，所以 \[ c[i*k]=e+1. \]

另一方面，\(i\) 的每个正因数都可以唯一写成 \(k^r s\)，其中 \(0\le r\le e\)，\(s\) 是 \(t\) 的正因数。因此 \[ f[i]=(e+1)f[t]. \]

于是 \[ \frac{f[i]}{c[i*k]} =\frac{(e+1)f[t]}{e+1} =f[t], \] 必然整除，不会发生舍去小数部分的情况。 随后乘上 \(e+2\)，就得到了 \(i*k=k^{e+1}t\) 的正因数个数。