CSP-J 2021 第一轮 第 30 题：程序（三）：f和g数组是否单调

题目

假设输入的 $x$ 是不超过 $1000$ 的自然数，完成下面的判断题和单选题：

#include <iostream>
using namespace std;

const int n = 100000;
const int N = n + 1;

int m;
int a[N], b[N], c[N], d[N];
int f[N], g[N];

void init()
{
    f[1] = g[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (!a[i]) {
            b[m++] = i;
            c[i] = 1, f[i] = 2;
            d[i] = 1, g[i] = i + 1;
        }
        for (int j = 0; j < m && b[j] * i <= n; j++) {
            int k = b[j];
            a[i * k] = 1;
            if (i % k == 0) {
                c[i * k] = c[i] + 1;
                f[i * k] = f[i] / c[i * k] * (c[i * k] + 1);
                d[i * k] = d[i];
                g[i * k] = g[i] * k + d[i];
                break;
            }
            else {
                c[i * k] = 1;
                f[i * k] = 2 * f[i];
                d[i * k] = g[i];
                g[i * k] = g[i] * (k + 1);
            }
        }
    }
}

int main()
{
    init();

    int x;
    cin >> x;
    cout << f[x] << ' ' << g[x] << endl;
    return 0;
}

（2 分） 在执行完 init() 后，f 数组不是单调递增的，但 g 数组是单调递增的。 （ ）

选项

• A. 正确
• B. 错误

答案

B

题解

选 B. 错误。只要找到一次 g 下降，就能否定题目中的说法。

看相邻的两个数 4 和 5：

• 2 是质数，初始化得到 f[2] = 2、g[2] = 3、c[2] = d[2] = 1。
• 当 i = 2, k = 2 时，进入 i % k == 0 分支：

``cpp c[4] = c[2] + 1 = 2; f[4] = f[2] / 2 * 3 = 3; g[4] = g[2] * 2 + d[2] = 7; ``

• 5 是质数，因此 f[5] = 2、g[5] = 6。

所以：

下标从 4 增大到 5，两个数组的值都下降了，因此它们都不是单调递增的。

进一步理解：f[x] 表示 x 的正因数个数，g[x] 表示 x 的所有正因数之和。数变大，因数个数与因数之和都不一定变大。