CSP-S 2019 第一轮 第42题：完善程序（第 20 题）第 4 空

题目

2. （取石子）

Alice 和 Bob 两个人在玩取石子游戏。他们制定了 $n$ 条取石子的规则，第 $i$ 条规则为：如果剩余石子的个数大于等于 $a[i]$ 且大于等于 $b[i]$，那么他们可以取走 $b[i]$ 个石子。他们轮流取石子。如果轮到某个人取石子，而他无法按照任何规则取走石子，那么他就输了。一开始石子有 $m$ 个。请问先取石子的人是否有必胜的方法？

输入第一行有两个正整数，分别为规则个数 $n(1<n<64)$, 以及石子个数 $m( \le 10^7)$。

接下来 $n$ 行。第 $i$ 行有两个正整数 $a[i]$ 和 $b[i]$。$(1 \le a[i] \le 10^7,1 \le b[i] \le 64)$。

如果先取石子的人必胜，那么输出 $\texttt{Win}$，否则输出 $\texttt{Loss}$。

提示：

可以使用动态规划解决这个问题。由于 $b[i]$ 不超过 $64$ ,所以可以使用 $64$ 位无符号整数去压缩必要的状态。

status 是胜负状态的二进制压缩，trans 是状态转移的二进制压缩。

试补全程序。

代码说明：

~ 表示二进制补码运算符，它将每个二进制位的 $0$ 变为 $1$、$1$ 变为 $0$;

而 ^ 表示二进制异或运算符，它将两个参与运算的数中的每个对应的二进制位一一进行比较，若两个二进制位相同，则运算结果的对应二进制位为 $0$ ,反之为 $1$。

ull 标识符表示它前面的数字是 unsigned long long 类型。

#include <cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 64;
int n, m;
int a[maxn], b[maxn];
unsigned long long status, trans;
bool win;
int main(){
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 0; i < n; ++i)
        scanf("%d%d", &a[i], &b[i]);
    for(int i = 0; i < n; ++i)
        for(int j = i + 1; j < n; ++j)
            if (a[i] > a[j]){
                swap(a[i], a[j]);
                swap(b[i], b[j]);
            }
    status = ①;
    trans = 0;
    for(int i = 1, j = 0; i <= m; ++i){
        while (j < n && ②){
            ③;
            ++j;
        }
        win = ④;
        ⑤;
    }

    puts(win ? "Win" : "Loss");

    return 0;
}

④处应填（	)

选项

• A. ~status| trans
• B. status & trans
• C. status | trans
• D. ~status & trans

答案

D

题解

第④题选 D：~status & trans。

核心思路是：只要能走到一个“对手必败”的状态，当前状态就是必胜；否则就是必败。

计算剩余 i 个石子时，二进制位的含义是：

• status 的第 k-1 位表示剩余 i-k 个石子时的胜负：1 表示必胜，0 表示必败。
• trans 的第 k-1 位为 1，表示取走 k 个石子的规则已经满足了 a[j] 的门槛。

因此： ``cpp win = ~status & trans; ` 先用 ~status 把必败状态对应的位变成 1，再与 trans` 按位与，筛出能通过规则到达的必败状态。

只要结果非零，就说明至少存在一种取法能让对手必败，赋给 bool win 后就是 true；结果为零则为 false。

这里还有一个细节：对于 i-k<0 的位置，程序通过初始化把对应位设为 1，取反后为 0，所以不会误把“石子不够取”的情况当作获胜方案。