CSP-S 2020 第一轮 第10题：一个班学生分组做游戏，如果每组三人就多两人，每组五人就多三人，每组

题目

—个班学生分组做游戏，如果每组三人就多两人，每组五人就多三人，每组七人就多四人，问这个班的学生人数 $n$ 在以下哪个区间？已知 $n<60$。(  ）

选项

• A. $30<n<40$
• B. $40<n<50$
• C. $50<n<60$
• D. $20<n<30$

答案

C

题解

选 C，班里有 53 人。

巧妙的方法是看 \(2n-1\)：

• \(n\) 除以 3 余 2，所以 \(2n-1\) 除以 3 的余数来自 \(2\times2-1=3\)，能被 3 整除。
• \(n\) 除以 5 余 3，同理 \(2\times3-1=5\)，能被 5 整除。
• \(n\) 除以 7 余 4，同理 \(2\times4-1=7\)，能被 7 整除。

因此，\(2n-1\) 是 \(3、5、7\) 的公倍数，即 105 的倍数。

因为 \(0<n<60\)，所以 \(0<2n-1<119\)，只能有 \[ 2n-1=105\quad\Rightarrow\quad n=53。 \]

验证：\(53=3\times17+2=5\times10+3=7\times7+4\)，符合题意。