CSP-S 2020 第一轮 第11题：小明想通过走楼梯来锻炼身体，假设从第1层走到第2层消耗10卡热量，

题目

小明想通过走楼梯来锻炼身体，假设从第 $1$ 层走到第 $2$ 层消耗 $10$ 卡热量，接着从第 $2$ 层走到第 $3$ 层消耗 $20$ 卡热量，再从第 $3$ 层走到第 $4$ 层消耗 $30$ 卡热量，依此类推，从第 $k$ 层走到第 $k+1$ 层消耗 $10k$ 卡热量 $(k>1)$？如果小明想从 $1$ 层开始，通过连续向上爬楼梯消耗 $1000$ 卡热量，至少要爬到第几层楼？ （  ）。

选项

• A. 14
• B. 16
• C. 15
• D. 13

答案

C

题解

从第 \(1\) 层爬到第 \(n\) 层，一共爬了 \(n-1\) 段楼梯，消耗的总热量为： \[ 10+20+\cdots+10(n-1) =10\times\frac{(n-1)n}{2} =5n(n-1). \]

要消耗至少 \(1000\) 卡，需要： \[ n(n-1)\ge 200. \]

因为：

• 爬到第 \(14\) 层：消耗 \(5\times14\times13=910\) 卡，不够；
• 爬到第 \(15\) 层：消耗 \(5\times15\times14=1050\) 卡，达到要求。

所以至少要爬到 第 \(15\) 层，选 C。