CSP-S 2021 第一轮 第25题：solve1（1，n）的时间复杂度为（）

题目

#include <algorithm>
#include <iostream>
using namespace std;

int n, a[1005];

struct Node
{
    int h, j, m, w;

    Node(const int _h, const int _j, const int _m, const int _w):
        h(_h), j(_j), m(_m), w(_w)
    { }

    Node operator+(const Node &o) const
    {
        return Node(
            max(h, w + o.h),
            max(max(j, o.j), m + o.h),
            max(m + o.w, o.m),
            w + o.w);
    }
};

Node solve1(int h, int m)
{
    if (h > m)
        return Node(-1, -1, -1, -1);
    if (h == m)
        return Node(max(a[h], 0), max(a[h], 0), max(a[h], 0), a[h]);
    int j = (h + m) >> 1;
    return solve1(h, j) + solve1(j + 1, m);
}

int solve2(int h, int m)
{
    if (h > m)
        return -1;
    if (h == m)
        return max(a[h], 0);
    int j = (h + m) >> 1;
    int wh = 0, wm = 0;
    int wht = 0, wmt = 0;
    for (int i = j; i >= h; i--) {
        wht += a[i];
        wh = max(wh, wht);
    }
    for (int i = j + 1; i <= m; i++) {
        wmt += a[i];
        wm = max(wm, wmt);
    }
    return max(max(solve2(h, j), solve2(j + 1, m)), wh + wm);
}

int main()
{
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
    cout << solve1(1, n).j << endl;
    cout << solve2(1, n) << endl;
    return 0;
}

假设输入的所有数的绝对值都不超过 $1000$ ，完成下面的判断题和单选题：

solve1(1, n) 的时间复杂度为（ ）。

选项

• A. $O(\log \ n)$
• B. $O(n)$
• C. $O(n \log \ n)$
• D. $O(n^{2})$

答案

B

题解

选 B，\(O(n)\)。

关键看 solve1：它把区间分成两半，分别递归，再用重载的 + 合并：

``cpp return solve1(h, j) + solve1(j + 1, m); ``

Node::operator+ 只做了固定次数的加法和取最大值，一次合并的时间是 \(O(1)\)，因此有递推式：

\[ T(n)=2T(n/2)+O(1). \]

可以把递归过程看成一棵树：

• 叶子对应长度为 \(1\) 的区间，共 \(n\) 个。
• 每个非叶子节点都有两个孩子，所以非叶子节点共 \(n-1\) 个。
• 总共调用 \(2n-1\) 次，每次除递归外只做 \(O(1)\) 的工作。

因此总时间复杂度为 \(O(n)\)。

注意：递归深度是 \(O(\log n)\)，但时间复杂度要统计所有递归调用的工作量，不能只看深度。