CSP-S 2021 第一轮 第26题：solve2（1，n）的时间复杂度为（

题目

#include <algorithm>
#include <iostream>
using namespace std;

int n, a[1005];

struct Node
{
    int h, j, m, w;

    Node(const int _h, const int _j, const int _m, const int _w):
        h(_h), j(_j), m(_m), w(_w)
    { }

    Node operator+(const Node &o) const
    {
        return Node(
            max(h, w + o.h),
            max(max(j, o.j), m + o.h),
            max(m + o.w, o.m),
            w + o.w);
    }
};

Node solve1(int h, int m)
{
    if (h > m)
        return Node(-1, -1, -1, -1);
    if (h == m)
        return Node(max(a[h], 0), max(a[h], 0), max(a[h], 0), a[h]);
    int j = (h + m) >> 1;
    return solve1(h, j) + solve1(j + 1, m);
}

int solve2(int h, int m)
{
    if (h > m)
        return -1;
    if (h == m)
        return max(a[h], 0);
    int j = (h + m) >> 1;
    int wh = 0, wm = 0;
    int wht = 0, wmt = 0;
    for (int i = j; i >= h; i--) {
        wht += a[i];
        wh = max(wh, wht);
    }
    for (int i = j + 1; i <= m; i++) {
        wmt += a[i];
        wm = max(wm, wmt);
    }
    return max(max(solve2(h, j), solve2(j + 1, m)), wh + wm);
}

int main()
{
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
    cout << solve1(1, n).j << endl;
    cout << solve2(1, n) << endl;
    return 0;
}

假设输入的所有数的绝对值都不超过 $1000$ ，完成下面的判断题和单选题：

solve2(1, n) 的时间复杂度为（ ）。

选项

• A. $O(\log \ n)$
• B. $O(n)$
• C. $O(n \log \ n)$
• D. $O(n^{2})$

答案

C

题解

选 C，\(O(n\log n)\)。

分析 solve2(h, m)，设当前区间长度为 \(k=m-h+1\)：

• 两个 for 循环分别遍历左半段和右半段，合计遍历 \(k\) 个元素，耗时 \(O(k)\)。
• 两次递归调用分别处理左右两半，每个子问题的规模约为 \(k/2\)。

因此递推式为： \[ T(k)=2T(k/2)+O(k),\qquad T(1)=O(1). \]

可以按递归的层数理解：

区间不断减半，共有 \(O(\log n)\) 层，每层总耗时为 \(O(n)\)，所以总时间复杂度是： \[ \boxed{O(n\log n)} \]

注意：两个循环是依次执行，不是嵌套，因此单次调用中的循环耗时是 \(O(k)\)，不是 \(O(k^2)\)。