NOIP 普及 2012 第一轮 第 21 题：整点连线中点仍为整点的最少点数

题目

如果平面上任取 $n$ 个整点（横纵坐标都是整数），其中一定存在两个点，它们连线的中点也是整点，那么 $n$ 至少是。

答案

5

题解

考点定位

本题考「抽屉原理」,对应大纲 2.1.5 组合（难度【3】）。

解题过程

整点按坐标奇偶性分类，共 4 类：(偶,偶),(偶,奇),(奇,偶),(奇,奇)。两点中点为整点 ⟺ 两点同类。n=5 时必有两点同类（4 个抽屉放 5 个点）。

答案：5。

易错提醒

① 中点整点条件：(x₁+x₂) 与 (y₁+y₂) 都是偶 ⟺ 奇偶性完全相同；② 抽屉数 = 2² = 4。