NOIP 提高 2017 第一轮 第 10 题：该题选项在原卷 OCR 中缺失，待人工复核。

题目

若 $f_0 = 0, f_1 = 1, f_{n + 1} = \dfrac{f_n + f_{n - 1}}{2}$，则随着 $i$ 的增大，$f_i$ 将接近于(    )。

选项

• A. $1/2$
• B. $2/3$
• C. $\dfrac{\sqrt{5} - 1}{2}$
• D. $1$

答案

B

题解

考点定位

本题考「数列极限」,对应大纲 2.1.4 数学（难度【4】）。

解题过程

f_{n+1}=(f_n+f_{n−1})/2。不动点 L：L=(L+L)/2 恒真——改求通项：差分 d_n=f_n−f_{n−1}=−d_{n−1}/2 ⇒ 公比 −1/2，f_n → (f₁+2f₀)/3 = (1+0)/3 = 1/3？

极值 = f₁+Σd_k = 1 + (−1/2)(1−(−1/2)^{n})/(1+1/2) → 1 − 1/3 = 2/3。

选 B。

易错提醒

① 等比衰减的差分：d_n = d₁(−1/2)^{n−1}，d₁ = f₁−f₀ = 1；② 极限 = f₀ + Σd_k = 0 + 1/(1+1/2) = 2/3。